Chứng Minh F Là Ánh Xạ Tuyến Tính

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S

1. Định nghĩa:

Cho V cùng V’ là hai không khí vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ

*
Hotline là 1 trong ánh xạ đường tính (linear transformations) hay đồng cấu con đường tính (homomorphism) ví như f thỏa mãn nhu cầu nhì tính chất sau đây:

(L1):

*
(tính bảo toàn phxay cộng)

(L2)

*
(tính bảo toàn phnghiền nhân cùng với vô hướng)

Một ánh xạ tuyến tính đi từ bỏ V vào thiết yếu nó còn được gọi là phnghiền biến đổi tuyến tính giỏi toán tử con đường tính trên V.

Bạn đang xem: Chứng Minh F Là Ánh Xạ Tuyến Tính

– Nhận xét: Từ nhì ĐK bên trên, dễ dàng nhận biết rằng:

*
là ánh xạ con đường tính
*

2. Tính chất:

Cho

*
là ánh xạ tuyến đường tính, V, W là nhị không gian vec-tơ bên trên ngôi trường số K. Khi đó:

1.

*

2.

*

Chứng minh:

1. Ta có:

*

Suy ra:

*
(*)

Mặt khác:

*
(**)

Do đó, trường đoản cú (*), (**) ta có:

*

2. Ta có:

*

3. Các ví dụ:

3.1: Ánh xạ hằng quý hiếm không:

*
là 1 trong ánh xạ tuyến đường tính với Hotline là ánh xạ không.

3.2: Ánh xạ đồng điệu

*
, là 1 trong những phnghiền biến đổi con đường tính trên V với Hotline là phép đổi khác đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.

3.3 Phnghiền lấy đạo hàm

*
\lớn R, p(x) \mapsto p'(x) " class="latex" /> là một trong phép biến hóa tuyến tính bên trên không khí R các nhiều thức thực một biến hóa x.

3.4 Phnghiền đem tích phân xác định:

*
& \longrightarrow và R \\ f(x) & \mapskhổng lồ và \int\limits_a^b f(x) \, dx \\ \endarray " class="latex" />

là 1 trong những ánh xạ tuyến đường tính từ không gian C những hàm số thực thường xuyên trên mang đến không khí R.

3.5: Cho điểm

*
. Phxay đem đối xứng qua trục Oy là 1 trong những phép chuyển đổi tuyến tính. Nghĩa là:
*
là một trong những phép biến hóa tuyến đường tính.

4. Tính chất:

4.1 Ánh xạ tích

*
của 2 ánh xạ đường tính
*
với
*
lại là 1 trong ánh xạ đường tính.

4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại trở thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc vào tuyến đường tính.

Xem thêm: Can Someone Put A Link Sopcast Tottenham Vs Arsenal 23H30 06/12

Nghĩa là:

*
là một ánh xạ tuyến đường tính với
*
là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc con đường tính vào V thì hệ
*
cũng chính là hệ nhờ vào tuyến tính trong W.

trái lại, nếu hệ

*
là hệ tự do tuyến đường tính trong W thì hệ
*
chủ quyền tuyến tính vào V.

Chứng minh: Do

*
phụ thuộc tuyến tính nên: lâu dài ít nhất một
*
sao cho:

*

Suy ra:

*

Hay:

*
(*)

Vậy tồn tại ít nhất một

*
làm thế nào để cho (*) xảy ra phải hệ
*
phụ thuộc vào con đường tính.

Chụ ý: Ánh xạ tuyến đường tính rất có thể đổi thay 1 hệ hòa bình con đường tính thành một hệ dựa vào đường tính.

5.Định lý cơ bản về sự việc xác định ánh xạ đường tính:

5.1 lấy ví dụ mnghỉ ngơi đầu:

Cho

*
là một trong những ánh xạ con đường tính với:

L(1,1) = (-1,1,2,3)

L(-1,1)=(2,0,2,3)

Tìm f(5,3)? Tổng quát lác, hãy xác định công thức f(x,y)?

Giải: Ta thể hiện tuyến tính vec-tơ (5,3) theo nhì vec-tơ (1,1) và (-1,1).

Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)

lúc đó, vì L là ánh xạ con đường tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)

Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)

Tương tự:

*

Từ kia, dễ dãi tìm kiếm được công thức của L(x,y).

Nhận xét: ta chỉ hoàn toàn có thể biểu lộ con đường tính số đông vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) giả dụ hệ (1, 1) , (-1, 1) là đại lý của

*

5.2 Định lý:

Cho một đại lý

*
của không gian vec-tơ n chiều V cùng
*
là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, lâu dài độc nhất vô nhị một ánh xạ đường tính
*
làm thế nào cho
*

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác minh do hình họa của một cơ sở.

Chứng minh:

– Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ ngẫu nhiên của V. Lúc đó:

*

Ta đặt:

*

Vậy: f là một trong những ánh xạ đi trường đoản cú V vào W với phân biệt

*

Ta đề nghị triệu chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.

Xem thêm: Viết Văn Thuyết Minh Về Con Trâu Theo Lối Đối Thoại Về Con Trâu

Thật vậy vơi rất nhiều vec-tơ x, y ở trong V. Ta có:

*
.

Ta yêu cầu hội chứng minh:

*

Thật vậy, ta có:

*

Do đó:

*

Vậy f là ánh xạ đường tinch.

– Sự duy nhất:

Giả sử còn vĩnh cửu ánh xạ đường tính

*
*

khi đó: với đa số

*
ta có:

*

Vậy f = g, hay f tuyệt nhất.◊

5.3 Các ví dụ:

5.3.1 Trong

*
xét đại lý chính tắc
*
cùng trong
*
cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác minh ánh xạ tuyến tính
*
sao cho:
*

5.3.2 Trong không gian

*
mang lại nhì hệ vec-tơ:

*

*

Hỏi tất cả tồn tại duy nhất hay không toán thù tử đường tính f (g) bên trên

*
sao cho
*
(
*
). Nếu tất cả, hãy xác định f (g)?

6. Nhân (Kernel) cùng ảnh (Image) của ánh xạ đường tính:

6.1 Định nghĩa:

Cho

*
là ánh xạ đường tính.

Nhân của ánh xạ con đường tính f là tập hợp:

*

Hình ảnh của ánh xạ con đường tính f là tập hợp:

*

Số chiều của Imf và kerf khớp ứng Call là hạng với số khuyết của f, cam kết hiệu thứu tự là rank(f) với def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )


Chuyên mục: Tin tức